سيستم اعداد مانده‌اي (باقيمانده)
سيستم اعداد مانده‌اي يك سيستم اعداد صحيح است، كه مهمترين ويژگي‌اش بطور ذاتي انتقال رقم نقلي مجازي در جمع و ضرب و تفريق‌هاست، همچنين نتجه جمع و تفريق و ضرب اعداد ما در مرحله اول بدون در نظر گرفتن طول اعداد مشخص مي‌شود، متأسفانه در سيستم اعداد مانده‌اي عمليات رياضي ديگري مانند تقسيم و مقايسه و شناسايي علامت خيلي پيچيده و كند هستند از مشكلات ديگر سيستم اعداد مانده‌اي اين است كه چون با سيستم اعداد صحيح كار مي‌كند در نتيجه نمايش اعداد اعشاري در سيستم اعداد مانده‌اي خيلي ناجور است با توجه به خواص سيستم اعداد مانده‌اي نتيجه مي‌گيريم كه در اهداف عمومي كامپيوترها (ماشين حساب‌ها) به صورت كاملاً جدي نمي‌تواند مطرح بشود. بهرحال ، براي بعضي از كاربرها كه اهداف خاصي دارند مثل بسياري از انواع فيلترهاي ديجيتال، تعداد جمع و ضرب‌هايي كه اساساً بزرگتر تعداد و درخواست بزرگي دامنه و شناسايي سرريز، تقسيم و شبيه اين‌ها، سيستم اعداد باقيمانده خيلي جذاب و جالب مي‌تواند باشد.
1-1) مقدمه
سيستم اعدادمانده‌اي اساساً بوسيله يك مبناي چندتائي (N – تائي) و نه يك مبناي واحد مثل از اعداد صحيح مشخص مي‌شود. هر كدام از ها باقيمانده پس از تقسيم يك عدد بر آن‌ها است.عدد صيح X در سيستم اعداد مانده‌اي بوسيلة يك N -تائي مثل نمايش داده مي‌شود كه هر يك عدد غيرمنفي صحيح است كه در رابطة زير صادق است:
| X | ||
| 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 | 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
جدول 1-1 نمايش اعداد در سيستم اعداد مانده‌اي به پيمانة
بزرگترين عدد صحيحي است بطوريكه معروف است به باقيمانده X به پيمانة Mi ، و در روش نوشتن اعداد هر دو و با يك مفهوم استفاده مي‌شوند.
مثال 1-1 سيستم اعدادمانده‌اي 2- باقيمانده‌اي با پيمانه‌هاي را ملاحظه كنيد در اين سيستم نمايش عدد صحيح x=5 به صورت نمايش داده مي‌شود كه و از رابطه‌هاي زير بدست مي‌آيند.
چونكه
چونكه
بنابراين در اين سيستم اعداد مانده‌اي با پيمانه‌هاي و عدد صحيح 5 به صورت (2,1) نشان داده مي‌شود.
عدد X لزوماً نبايد يك عدد صحيح مثبت باشد بلكه مي‌تواند عدد صيح منفي هم باشد براي مثال اگر X=-2 باشد آنگاه
چونكه
چونكه
نكته‌اي كه در اينجا وجود دارد اين است كه ها مثبت تعريف مي شوند .
بنابراين عدد صيح -2 در سيستم اعداد مانده‌اي با پيمانه‌هاي و بصورت نمايش داده مي‌شود.
جدول 1-1 اعداد صحيح در محدودة [-4,8] را در سيستم اعداد مانده‌اي به پيمانة نمايش داده است.
سيستم اعداد مانده‌اي (باقيمانده)