پایان نامه حل معادلات عددي ديفرانسيل
مقدمه
معرفي معادلات ديفرانسيل
معادله در رياضيات وقتي با اسم خاص و صورت خاص مي آيد خود به تنهايي مسأله اي را نمايش مي دهد كه در آن مي خواهيم مجهولي را بدست آوريم.
كاربرد معادله ديفرانسيل از نظر تاريخي با معرفي مفهوم هاي مشتق و انتگرال آغاز گرديد. ساده ترين نوع معادله ديفرانسيل آن دسته از معادلاتي هستند كه مشتق تابع جواب را داشته باشيم. كه چنين محاسبه اي به پاد مشق گيري و انتگرال گيري نامعين موسوم است.
معادلات ديفرانسيل وابستگي بين توابع و مشتق هاي توابع را نشان مي دهد. كه از لحاظ تاريخي به طور طبيعي از زمان كشف مشتق به وسيله نيوتن ولايب نيتس آغاز مي شود. (قرن هفدهم ميلادي). كه با رشد سريع علم و صنعت در قرن بيستم روشهاي عددي حل معادلات ديفرانسيل مورد توجه قرار گرفتند كه توسعه و پيشرفت كامپيوتر ها در پايان قرن بيستم موجب كاربرد روش هاي تقريبي تعيين جواب معادلات ديفرانسيل در بسياري از زمينه هاي كاربردي گرديد كه باعث بوجود آمدن مباحث جديد در اين زمينه شد.
نمادها و مفاهيم اساسي
اگر تابعي از متغير حقيقي باشد و ضابطه آن و متغير تابع يا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق با يكي از نمادهاي نمايش داده مي شود. همچنين مشتق دوم، سوم،… و ام آن نيز به ترتيب با نمادهاي
نمايش داده مي شوند. اگر تابعي از دو متغير حقيقي باشد آنگاه مشتق هاي جزئي با نمادهاي نمايش داده مي شوند. همچنين اگر آنگاه مشتق هاي جزئي با نمادهاي و يا نمايش داده مي شوند.
همچنين داريم:
كه اين توابع مشتقات جزئي مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.
همچنين براي توابع متغير حقيقي داريم:
كه فرض مي كنيم همه مشتقات جزئي تا مرتبه مورد نظر پيوسته باشند.
حال براي تابع از متغير حقيقي با مقدار حقيقي را ديفرانسيل تابع گويند. اگر تابع از متغير حقيقي باشد.
را ديفرانسيل كامل تابع گويند. كه در حالت خاص اگر از دو متغير حقيقي با مقدار حقيقي باشد داريم:
معادلات ديفرانسيل معمولي و با مشتقات جزئي
يك معادله ديفرانسيل هر كدام از توابع ضمني از متغير يا متغيرهاي مستقل، متغير يا متغيرهاي تابع و مشتق هاي متغير يا متغير هاي تابع نسبت به متغير يا متغيرهاي مستقل مي تواند باشد كه حتماً بايد لا اقل يك مشتق ساده يا جزئي در آن حضور داشته باشد.
معادله ديفرانسيل نوع از معادلات ديفرانسيل است كه فقط يك متغير مستقل در آن وجود دارد. و متغير تابع و
مشتقات مرتبه اول تا ام نسبت به است. متغير مي توانند در معادلات ديفرانسيل نباشند ولي حضور لااقل يك مشتق الزامي است. معادله ديفرانسيل
يك نوع معادله است كه شامل متغير مستقل است و فقط يك متغير تابع دارد كه در آن تابعي ازها است.
براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل مي گوييم هرگاه همه مشتق هاي ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله ديفرانسيل معمولي (يا ساده يا عادي) مي ناميم. اما اگر در عبارت معادله لااقل يك مشتق جزئي ظاهر شود آن را يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي يا معادله ديفرانسيل نسبي مي ناميم.
معادلات ديفرانسيل زير از جمله معادلات ديفرانسيل مهم هستند:
(معادله خطي غير همگن)؛
(معادله بزنولي)
(معادله ريكاتي)
(معادله لا پلاس)
(معادله كلرو) غير خطي؛
(معادله لاگرانژ) غير خطي؛
(معادله يك بعدي حرارتي) ثابت؛
(معادله اولر) ثابت؛
(معادله لژ اندر) ثابت؛
(معادله بسل) ثابت نا منفي؛
(معادله پواسن)
(معادله يك بعدي موج) ثابت؛
(معادله ترافيك)
(معادله لاگرانژ)
(معادله پفافي)
(معادله ارتعاش تير) ثابت
از معادلات ديفرانسيل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات ديفرانسيل معمولي و بقيه معادلات ديفرانسيل نسبي مي باشند.
اگر بخواهيم يك معادله را به صورت ديفرانسيلي بنويسيم مي توانيم به جاي عبارت را جايگزين كنيم. مثلاً براي معادله به صورت
است.
يك روش ديگر براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل استفاده از مرتبة آنها است كه مرتبة يك معادله ديفرانسيل عبارت است از بزرگترين مرتبه مشتق يا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله ديفرانسيل. با توجه به معادلات فوق مي بينيم كه معادلات (3) و(4)و(5)و(7)و(8)و(15)و(16)و(17) معادلات مرتبه اول و معادلات (6)و(9)و(10)و(11) و(12)و(13)و(14) معادلات مرتبه دوم و معادله ديفرانسيل (18) يك معادله مرتبه چهارم است.
وقتي معادلات ديفرانسيل هر كدام داراي بيش از يك متغير تابع باشند در اين صورت معادلات به تنهايي ظاهر نمي شوند و مجموعه اي
مقدمه – معرفي معادلات ديفرانسيل 4
بخش اول – حل عددي معادلات ديفرانسيل معمولي 20
فصل اول – معادلات ديفرانسيل معمولي تحت شرط اوليه 20
فصل دوم – معادلات ديفرانسيل معمولي تحت شرايط مرزي 66
فصل سوم – معادلات ديفرانسيل خطي 111
بخش دوم – حل عددي معادلات ديفرانسيل جزئي 125
فصل اول – حل معادلات عددي هذلولوي 128
فصل دوم – حل معادلات عددي سهموي 146
فصل سوم – حل معادلات عددي بيضوي 164
فصل چهارم – منحني هاي مشخصه 184
پایان نامه حل معادلات عددي ديفرانسيل