فایل مارکت

كليات معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي

1-مقدمه

يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي (يا نسبي) براي يك تابع  رابطه‌اي است كه بين تابع مجهول u و متغيرهاي مستقل آن (به تعداد متنابهي) و مشتقات جزئي تابع u نسبت به متغيرهاي مستقل آن برقرار مي‌باشد. تابع u را جوابي براي معادله ديفرانسيل فوق ميناميم هرگاه پس لز جايگزيني u(x,y,…) و مشتقات جزئي آن، اين معادله ديفرانسيل نسبت به متغيرهاي مستقل مذكور، درناحيه  اي از فضاي اين متغيرهاي مستقل تبديل به يك اتحاد شود.

مرتبة يك معادلة ديفرانسيل با مشتقات جزئي بالاترين مرتبة مشتقات موجود در آن معادله است. مثلاً uu_xy+u_yu_x=f(x,y) يك معادله ديفرانسيل مرتبه دوم است. در اينجا   و  و

يك معادلعه ديفرانسيل با مشتقات جزئي را خطي[1] گوئين هرگاه اين معادله نسبت به تابع مجهول و مشتقات آن، با ضرايبي كه فقط تابع متغيرهاي مستقل هستند، خطي باشد. يك معادله با مشتقات جرئي از مرتبه m را شبه خطي[2] گوئيم هرگاه اين معادله نسبت به مشتقات جزئي مرتبه mام تابع مجهول، با ضرايبي كه فقط تابع متغيرهاي مستقل u و مشتقات از مرتبه كمتر از m هستند، خطي باشد (مانند مثال بالا) يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي خطي يك حالت خاص معادله شبه خطي است.

2- معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه اول

معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه اول خطي با ضرايب ثابت

به عنوان گام نخست معادلع ديفرانسيل  (2-1) au_x+bu_y+cu=f(xy) را درنظر مي‌گيريم، كه در آن تابع f داده شده و ضرايب ثابت‌اند. سعي مي‌كنيم با تغيير متغيرهاي ساده مانند (2-2) x=ay+a₁ و y=by+b₁ معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي (2-1) را به معادله ديفرانسيل )uy+cu=f(ay+a₁ , by +b₁ تبديل كنيم كه مانند يك معادله ديفرانسيل معمولي خطي مرتبه اول با ضرايب ثابت نسبت به متغير مستقل y حل مي‌شود، منتها ثابت انتگرالگيري تابع دلخواهي از  خواهد بود. بعد از حل بجاي y و  برحسب x و y جانشين مي‌كنيم تا جواب u(x,y) حاصل شود البته لازمه اين كار آنست كه دترميبنال ضرايب تغيير متغيرهاي (2-C) غيرصفر باشد، سعني مستقل بودن اين متغيرها تضمين شود (اين دترمينال ژاكوبي تغيير متغيرها است)

مثال ا

قضيه زير يك روش حل معادله با مشتقات جزئي مرتبه اول شبه خطي را پيش روي ما ميگذارد كه فعلاً از بيان آن خودداري مي‌كنيم.

قضيه 1 جولب عمومي معادلع ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه اول شبه خطي (2-3) P(x,y,u)u_x+Q(x,y,u)u_y=R(x,y,u) به صورت W=F(v) است كه در آن F تابعي دلخواه است و V(x,y,u)=c₁و W(x,y,u) جواب عمومي در معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه اول (2-4)  ميباشد.

مثال 2: جواب عمومي معادله uu_x+yu_y=x را بيابيد

حل دستگاه دو معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه اول از روابط  بدست مي‌آيند

مثال 1. معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه اول خطي زير را حل كنيد.

حل. ابتدا با تغيير متغيرهاي  و  معادله ديفرانسيل فوق را تبديل مي‌كنيم به صورت

اكنون يك دستگاه تغيير متغيرهاي ديگري بكار مي بريم به صورت و كه در آن  ثابت فرض مي‌شود، تا اينكه متغيرهاي s و t مستقل باشند. از اينجا نتيجه مي‌شود

كه در آن  تابع دلخواه ولي مشتق پذير است.

در حالت خاص  داريم

3.طبقه بندي معادلات با مشتقات جزئي مرتبه دوم نيمه خطي[3]

در اين بخش خانواده معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه دوم نيمه خطي با دو متغير مستقل بصورت

(3-1)

را درنظر مي‌گيريم كه در آن  تنها توابعي از x و y فرض مي‌شوند. اين معادله را در نقطه   از نوع هذلوليگون[4]، سهميگون[5]، و يا بيضيگون[6] گوئيم هرگاه عبارت  به ترتيب مثبت، صفر، و يا منفي باشد. معادله (3-1) را در يك ناحيه از صفحه xy از نوع هذلوليگون، سهميگرون، و يا بيضيگون گ.ئيم هرگاه عبارت مذكور در سراسر آن ناحيه به ترتيب مثب، صفر، و يا منفي باشد.

اكنون تبديل مختصات  به صورت  و  را به قسمي جستجو مي‌كنيم كه معادله ديفرانسيل (3-1) را ساده تر نموده و در صورت امكان به طور صريح حل پذير نمايد. فرض مي كنيم تين تبديل داراي عكس بوده و توابع  و  داراي مشتقات جرئي پيوسته تا مرتبه دوم باشند. در اين صورت  و

و اگر اين عبارات را در (3-1) جانشين كنيم، معادله ديفرانسيل به صورت
(3-2)

به دست مي آيد كه در آن

و F* تابعي از  و  و  نيست، اگر معادله ديفرانسيل (3-1) خطي باشد، آنگاه معادله ديفرانسيل (3-2) نيز خطي خواهد بود.

اگر بتوان مختصات جديد را طوري انتخاب نمود كه  صفر شود، آنگاه معادله جديد (3-2) ساده تر خواهد شد. در اين رابطه لم زير را بيان مي‌كنيم و اثبات آنرا به خاطر سادگي به خواننده واگذار مي‌كنيم.

لم. معادله با مشتقات جزئي مرتبه اول

(3-3)

داراي جوابي به صورت  است و اگر و تنها اگر كعادله ديفرانسيل معمولي مرتبه اول

(3-4)

جوابي به صورت  (منحني‌هاي تراز رويه ) داشته باشد، كه در آن C ثابت دلخواه است.

معادله ديفرانسيل (3-4) را معادلة مشخصة (يا سرشت نماي) معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي (3-1) گويند، و هر جواب آنرا يك مشخصه معادله (3-1) مينامنداز (3-4) دو معادله حاصل مي‌شود

به سهولت مي توان درستي تساوي زير را نشان داد.

كه از آن تغييرناپذيري نوع معادله (3-1) در اثر تبديل مختصات فوق به وضوح ديده يم شود. همچنين در نقاط متفاوت ناحيه تعريف معادله 03-1)، اين معادله ممكن است از انواع مختلف باشد.

حال يك ناحيه G از صفحه را اختيار مي‌كنيم كه در تمام نقاط آن معادله (3-1) از يك نوع باشد و درون G را ناتهي فرض مي‌نمائيم. از هر نقطه ناحية درون G دو مشخصه عبور مي‌كند كه براي يك معادله ديفرانسيل از نوع هذلوليگون، اين دو حقيقي و تمايزاند،[7] براي نوع سهميگون. اين دو حقيقي و يكسان اند و براي نوع بيضيگون موهومي و متمايزاند. هريك از حالات فوق را جداگانه مورد بررسي قرار ميدهيم.

الف) براي معادله ديفرانسيل نوع هذلوليگون (حالت )، عبارات سمت راست معادلات (3-5) حقيقي و متمايزاند. جوابهاي (انتگرالهاي) عمومي  و  از اين معادلات يك مجموعه حقيقي از مشخصه‌ها را تعيين مي‌نمايد. در حالتي كه  و  همزمان صفر نباشد قرار مي‌دهيم

و

معادله ديفرانسيل (3-2) اكنون با تقسيم طرفين بر ضريب  كه غير صفر است (چرا؟) به صورت زير درمي‌آيد

(3-6)

كه فرم كانوئيك يك معادله از نوع هذلوليگو ناميده مي‌شود. اگر ضرايب  و  همزمان صفر باشند، آنگاه از ابتدا فرم كانونيك را داريم

(ب) براي معادله‌اي از نوع سهميگون (حالت ) معادلات (3-5) يكسان‌اند و تنها ك جواب (انتگرال) عموم يكتا از اين معادلات به صورت  بدست مي‌آيد. در اين حالت قرار ميدهيم  و سپس  را به دلخواه طوري اختيار مي‌كنيم كه مستقل از  بوده، اما به اندازه كافي هموار[8] باشد چون: ، با اين انتخاب متغيرهاي جديد خواهيم داشت:  (تحقيق كنيد). با تقسيم طرفين (3-2) بر ضريب  كه غير صفر است (چرا؟)، فرم كانوئيك براي يك معادله از نوع سهميگون به صورت

[7] – تعريف متغيرهاي مستقل جديد ،  از طريق توابع  و  تنها زماني امكان‌پذير است كه اين توابع مستقل از يكديگر باشند و براي اين منظور كافي است كه دترمينال تابعي (Functional Determinate) مربوط به اين توابع غيرصفر باشد. اين شرط در اينجا برقار است زيرا اگر  در هر مقطه‌اي مانند M صفر بماند، ستونهاي دترمينال براي اين نقطه متناسب مي‌شد و بنابراين ،  اما چون

لذا تناسب غيرممكن مي باشد (بي آنكه از كليت مسأله كاسته شود مي توان فرض نمود ). بنابراين توابع  و  مستقل از يكديگراند.

[8] – Smooth- يعني به تعداد كافي مرتبه داريا مشتقات جزئي پيوسته باشد.

كليات معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي